✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Méthode

On considère le système de deux équations linéaires à deux inconnues suivant : $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$  où $a$ , $a^{\prime }$ , $b$ , $b^{\prime }$ , $c$ , $c^{\prime }$ sont des réels donnés.
$x$ et $y$ sont les inconnues de ce système d'équations.

Lorsqu'elles existent, les valeurs de   $x$ et $y$ qui rendent les deux égalités vraies en même temps forment le couple solution du système,  noté $(x;y)$ .

Les deux équations qui constituent ce système sont des équations cartésiennes de droites dans un repère du plan. Résoudre un tel système revient donc à chercher l'éventuel point d'intersection de ces droites qu'on note $d_1$ et $d_2$ .
La droite $d_1$  est dirigée par le vec teur  ${\displaystyle \overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-b}{a})}$ et la droite $d_2$  est dirigée p ar le vecteur  ${\displaystyle \overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-b^{\prime }}{a^{\prime }})}$ .
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si $-b\times a^{\prime }=-b^{\prime }\times a$ soit  $\boxed{{\displaystyle a{b}^{\prime }-a^{\prime }b=0}}$ . 

On appelle déterminant du système la quantité $a{b}^{\prime }-a^{\prime }b$ .
Les droites sont donc parallèles si et seulement si le déterminant du système est nul.

Dans le plan, deux droites sont soit parallèles confondues, soit strictement parallèles, soit sécantes.

• Premier cas : les deux droites sont confondues
  Le système admet alors une infinité de couples solutions. 
  
• Deuxième cas :  les deux droites sont strictement parallèles
  Le système n'admet aucun couple solution.
  
• Troisième cas : les droites sont sécantes.
  Le système admet un unique couple solution.